В треугольнике ABC B₁ — середина AC, точка A₁ лежит на стороне BC так, что BA₁ : A₁C = 1 : 2. Используя векторы, докажите, что середина BB₁ лежит на прямой AA₁.

Обозначим \(\overrightarrow{AB}=\vec u\), \(\overrightarrow{AC}=\vec v\). Возьмём точку A за начало отсчёта.

1. Так как B₁ — середина AC, \(\overrightarrow{AB_1}=\frac12\vec v\).
2. Из отношения \(BA_1:A_1C=1:2\) следует, что A₁ делит BC в отношении 1:2 от точки B. Поэтому \(\overrightarrow{AA_1}=\frac23\vec u+\frac13\vec v\).
3. Пусть M — середина BB₁. Тогда \(\overrightarrow{AM}=\frac12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB_1})=\frac12\vec u+\frac14\vec v\).
4. Сравним с вектором \(\overrightarrow{AA_1}\): \(\overrightarrow{AM}=\frac34\left(\frac23\vec u+\frac13\vec v\right)=\frac34\overrightarrow{AA_1}\). Значит, векторы \(\overrightarrow{AM}\) и \(\overrightarrow{AA_1}\) коллинеарны, поэтому M лежит на прямой AA₁.