В треугольнике ABC BD – медиана, угол BDC прямой. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

Для доказательства того, что треугольник ABC равнобедренный, нам нужно показать, что две его стороны равны. В данном случае, мы докажем, что AB = BC. 1. Рассмотрим треугольник BDC. Так как угол BDC прямой, то BDC - прямоугольный треугольник. 2. Продолжим медиану BD на отрезок DE, равный BD (то есть BD = DE). Соединим точки E и C. 3. Рассмотрим треугольники BDC и EDB. У них: * BD = DE (по построению), * Угол BDC = углу EDB (оба прямые), * DC = DA (так как BD - медиана). Следовательно, треугольники BDC и EDB равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). 4. Из равенства треугольников BDC и EDB следует, что BC = BE. 5. Так как треугольники BDC и EDB равны, то угол DBC = углу DEB. 6. Рассмотрим треугольник BEC. Так как BD - медиана и высота в треугольнике BEC (BD перпендикулярна DC), то треугольник BEC равнобедренный с основанием EC. Значит, BE = BC. 7. Рассмотрим треугольник ABE. Так как AD = DC, и BD перпендикулярно AC, то BD является серединным перпендикуляром к AC. То есть, любая точка на BD равноудалена от A и C. Таким образом, BA = BC. Из пунктов 4 и 7 следует, что BA = BC. Следовательно, треугольник ABC равнобедренный.