В треугольнике \(ABC\) биссектриса угла \(A\) делит высоту, проведённую из вершины \(B\), в отношении \(25:7\), считая от точки \(B\). Найдите радиус окружности, описанной около треугольника \(ABC\), если \(BC=36\).

Пусть высота из \(B\) пересекает сторону \(AC\) в точке \(H\), а биссектриса угла \(A\) пересекает эту высоту в точке \(P\). По условию \(BP:PH=25:7\), значит \(BH=32k\), \(BP=25k\), \(PH=7k\).

Рассмотрим координаты: \(A=(0,0)\), \(AC\) — горизонтальная ось, \(B=(u,32k)\), \(H=(u,0)\). Из теоремы о биссектрисе и подобия прямоугольных треугольников получается \(AB:AC=25:7\). Поэтому угол между \(AB\) и \(AC\) удовлетворяет \(\sin A=\frac{25}{\sqrt{25^2+7^2}}=\frac{25}{\sqrt{674}}\).

По теореме синусов \(BC=2R\sin A\frac{?}{?}\); с учётом заданного отношения и вычисления сторон получаем \(R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{36\sqrt{674}}{50}=\frac{18\sqrt{674}}{25}\).

Ответ: \(\frac{18\sqrt{674}}{25}\).