В треугольнике ABC BM — медиана и BH — высота. Известно, что AC = 216, HC = 54, \(\angle\) CBH = 40°. Найдите угол AMB. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике BHC (так как BH — высота), \( \angle BCH = 90° - \angle CBH = 90° - 40° = 50° \).

2. В треугольнике ABC, \( \angle ACB = \angle BCH = 50° \).

3. Так как BM — медиана, то \( AM = MC = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} × 216 = 108 \).

4. \( HC = 54 \). Следовательно, \( MH = MC - HC = 108 - 54 = 54 \).

5. В прямоугольном треугольнике BHC, \( BH = HC × \tan(\angle BCH) = 54 × \tan(50°) \). Также, \( BH = BC × \tan(\angle BCH) \) и \( BH = BC × \tan(50°) \).

6. В прямоугольном треугольнике BHC, \( BC = \frac{HC}{\cos(\angle BCH)} = \frac{54}{\cos(50°)} \).

7. В прямоугольном треугольнике BHC, \( BH = HC × \tan(\angle CBH) = 54 × \tan(40°) \).

8. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BMH. У нас есть \( MH = 54 \) и \( BH = 54 × \tan(40°) \).

9. В прямоугольном треугольнике BMH, \( \tan(\angle AMB) = \frac{BH}{MH} = \frac{54 × \tan(40°)}{54} = \tan(40°) \).

10. Следовательно, \( \angle AMB = 40° \).

Ответ: 40.