В треугольнике ABC ∠C = 30°, AC = 10 см, BC = 8 см. Через вершину A проведена прямая l, параллельная BC. Найти: а) расстояние от точки B до прямой AC; б) расстояние между прямыми a и BC.

Так как прямая \(l\) проходит через точку \(A\) и параллельна \(BC\), расстояние между прямыми \(l\) и \(BC\) равно высоте треугольника \(ABC\), проведённой из точки \(A\).

В прямоугольном треугольнике, образованном высотой из \(B\) к прямой \(AC\), гипотенуза \(BC=8\) см, а угол \(C=30^\circ\). Поэтому расстояние от точки \(B\) до прямой \(AC\): \[h_B=BC\sin30^\circ=8\cdot\frac12=4\text{ см}.\]

Для нахождения расстояния между \(l\) и \(BC\) найдём высоту из \(A\). Сначала по теореме косинусов: \[AB^2=AC^2+BC^2-2\cdot AC\cdot BC\cos30^\circ=100+64-80\cdot\frac{\sqrt3}{2}=164-40\sqrt3.\] Площадь треугольника: \[S=\frac12\cdot AC\cdot BC\sin30^\circ=\frac12\cdot10\cdot8\cdot\frac12=20\text{ см}^2.\] Тогда \[h_A=\frac{2S}{BC}=\frac{40}{8}=5\text{ см}.\]

Ответ: а) 4 см; б) 5 см.