3562. В треугольнике ABC известно, что AC = BC = 16, cos A = 0,75. Найдите AB.

Поскольку AC = BC, треугольник ABC является равнобедренным. Следовательно, углы при основании равны, то есть ∠A = ∠B. Воспользуемся теоремой косинусов для нахождения стороны AB: $$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 * AC * BC * cos(C)$$. Для начала найдем косинус угла C. Сумма углов треугольника равна 180 градусам. ∠C = 180 - ∠A - ∠B = 180 - 2∠A. $$cos(C) = cos(180 - 2A) = -cos(2A) = -(2cos^2(A) - 1) = 1 - 2cos^2(A)$$. $$cos(A) = 0.75 = \frac{3}{4}$$. $$cos(C) = 1 - 2 * (\frac{3}{4})^2 = 1 - 2 * \frac{9}{16} = 1 - \frac{9}{8} = -\frac{1}{8}$$. Теперь найдем AB: $$AB^2 = 16^2 + 16^2 - 2 * 16 * 16 * (-\frac{1}{8}) = 256 + 256 + 64 = 576$$. $$AB = \sqrt{576} = 24$$. Ответ: 24