В треугольнике ABC известно, что AC = BC, AB = 18, tg A = 2√22 9 . Найдите длину стороны АС.

В треугольнике ABC, AC = BC, следовательно, это равнобедренный треугольник. Углы при основании равнобедренного треугольника равны, то есть \(\angle A = \angle B\). Проведём высоту CH к стороне AB. Так как треугольник равнобедренный, высота также является медианой, то есть AH = HB = AB / 2 = 18 / 2 = 9.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AHC. Нам известна тангенс угла A:

$$\tan A = \frac{CH}{AH} = \frac{2\sqrt{22}}{9}$$

Подставим AH = 9:

$$\frac{CH}{9} = \frac{2\sqrt{22}}{9}$$

$$CH = 2\sqrt{22}$$

Теперь, когда мы знаем AH и CH, можем найти AC по теореме Пифагора:

$$AC^2 = AH^2 + CH^2 = 9^2 + (2\sqrt{22})^2 = 81 + 4 \cdot 22 = 81 + 88 = 169$$

$$AC = \sqrt{169} = 13$$