10. В треугольнике ABC медиана AK перпендикулярна биссектрисе BM. Найдите длину стороны AB, если AK = BM = 12.

Для решения этой задачи нам потребуется немного геометрических рассуждений и свойств треугольников.

Пусть $$O$$ - точка пересечения медианы $$AK$$ и биссектрисы $$BM$$. Так как $$AK \perp BM$$, то $$\angle AOB = 90^\circ$$.

Рассмотрим треугольник $$ABO$$. Так как $$BO$$ является биссектрисой угла $$B$$, то $$\angle ABO = \angle MBO$$. Обозначим этот угол как $$\alpha$$. Тогда $$\angle AOB = 90^\circ$$, и, следовательно, $$\angle BAO = 90^\circ - \alpha$$.

Продолжим медиану $$AK$$ за точку $$K$$ на расстояние $$KC' = AK$$. Тогда $$AK = KC'$$ и $$BK$$ - медиана треугольника $$ABC'$$. Так как $$AK \perp BM$$, то $$AB = BC'$$. Треугольник $$ABC'$$ - равнобедренный, а $$BK$$ - медиана, следовательно, $$BK$$ также является высотой и биссектрисой. Тогда $$\angle ABK = \angle CB'K$$.

Заметим, что $$AO$$ - биссектриса угла $$BAK$$ в прямоугольном треугольнике $$ABO$$. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противоположный катет на отрезки, пропорциональные гипотенузе и прилежащему катету. Следовательно, $$\frac{AO}{OK} = \frac{AB}{BK}$$.

В треугольнике $$ABM$$ отрезок $$BO$$ является биссектрисой и высотой, а значит, треугольник $$ABM$$ равнобедренный с $$AB = AM$$. Тогда $$M$$ - середина $$AC$$, следовательно, $$AM = MC$$, и $$AC = 2AB$$.

Так как $$AK$$ - медиана, проведённая к стороне $$BC$$, и $$BM$$ - биссектриса, причём $$AK \perp BM$$, то $$\triangle ABM$$ равнобедренный ($$AB = AM$$). Следовательно, $$AK$$ является высотой и биссектрисой в $$\triangle ABM$$.

Поскольку $$\triangle ABM$$ равнобедренный ($$AB = AM$$), а $$M$$ – середина $$AC$$, то $$AC = 2AB$$. Пусть $$AB = x$$. Тогда $$AC = 2x$$.

В прямоугольном $$\triangle ABO$$: $$AO^2 + BO^2 = AB^2$$. По условию $$AK = BM = 12$$. Пусть $$AO = y$$, тогда $$OK = 12 - y$$. Аналогично, пусть $$BO = z$$, тогда $$OM = 12 - z$$.

По свойству биссектрисы в $$\triangle ABK$$: $$\frac{AO}{OK} = \frac{AB}{BK}$$. Тогда $$\frac{y}{12-y} = \frac{x}{BK}$$.

Так как $$AB = AM$$, и $$BM \perp AK$$, то $$AO = OK = 6$$. Значит, $$\triangle ABO$$ – прямоугольный равнобедренный треугольник, и $$AB = AO \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$$.

Ответ: $$6\sqrt{2}$$