В треугольнике ABC медиана BM равна половине стороны AC. Найдите величину угла ABC.

Пусть AC = a. Так как BM — медиана, AM = MC = a/2, а по условию BM = a/2.

По теореме Аполлония для медианы BM:

AB² + BC² = 2(BM² + AM²) = 2((a/2)² + (a/2)²) = a² = AC².

Значит, AB² + BC² = AC². По обратной теореме Пифагора угол, лежащий напротив стороны AC, прямой.

Ответ: ∠ABC = 90°.