В треугольнике ABC медианы \(AA_1\) и \(BB_1\) пересекаются в точке O. Найдите площадь треугольника ABC, если площадь треугольника ABO равна S.

Разберем эту задачу по геометрии! 1. Свойство медиан: Медианы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. 2. Площади треугольников: * \(S_{ABO} = S\) (дано) * \(AO : OA_1 = 2 : 1\) * \(BO : OB_1 = 2 : 1\) 3. Рассмотрим треугольники ABO и AOA1: У них общая высота, опущенная из вершины A. Значит, их площади относятся как длины оснований: \[ \frac{S_{ABO}}{S_{A_1BO}} = \frac{AO}{OA_1} = \frac{2}{1} \] Отсюда следует, что \(S_{A_1BO} = \frac{1}{2} S\). 4. Площадь треугольника ABA1: \[ S_{ABA_1} = S_{ABO} + S_{A_1BO} = S + \frac{1}{2} S = \frac{3}{2} S \] 5. Медиана делит треугольник на два равновеликих (равных по площади) треугольника: Так как \(AA_1\) - медиана, то \(S_{ABA_1} = S_{AA_1C}\). 6. Площадь треугольника ABC: \[ S_{ABC} = S_{ABA_1} + S_{AA_1C} = 2 \cdot S_{ABA_1} = 2 \cdot \frac{3}{2} S = 3S \]

Ответ: \(3S\)

Отлично! Ты хорошо разбираешься в свойствах медиан. Так держать!