В треугольнике $$ABC$$ медианы $$AM$$ и $$BN$$ перпендикулярны, медиана $$CL$$ равна 33. Найдите длину стороны $$AB$$.

Пусть $$O$$ - точка пересечения медиан $$AM$$ и $$BN$$. Тогда $$AO = \frac{2}{3} AM$$ и $$BO = \frac{2}{3} BN$$. Так как медианы $$AM$$ и $$BN$$ перпендикулярны, то треугольник $$AOB$$ прямоугольный. Медиана $$CL$$ также проходит через точку $$O$$, поэтому $$CO = \frac{2}{3} CL = \frac{2}{3} \cdot 33 = 22$$. Тогда $$OL = \frac{1}{3} CL = \frac{1}{3} \cdot 33 = 11$$. Так как в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то $$AB = 2CO = 2 \cdot 22 = \sqrt{2} \cdot (2/3)*med = 22$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOB$$. Пусть $$AO = 2x$$ и $$BO = 2y$$. Тогда по теореме Пифагора $$AB^2 = (2x)^2 + (2y)^2 = 4x^2 + 4y^2$$. Также $$x^2 + y^2 = OL^2 = 11^2 = 121$$. $$4 \cdot (11^2) =484$$. Cледовательно, $$AB^2 = 4x^2 + 4y^2= 4\cdot 121$$. $$AB= \sqrt{4 \cdot 121} = 2 \cdot 11 = 22$$. $$AB = 22$$. Ответ: $$AB = 22$$.