16. В треугольнике ABC проведена прямая KN — серединный перпендикуляр к стороне BC. Найти AK: KC, если BK = 4 и AC = 6.

Так как $$KN$$ - серединный перпендикуляр к $$BC$$, то $$BK = KC = 4$$. Рассмотрим треугольник $$AKC$$. Нужно найти отношение $$AK:KC$$, где $$KC = 4$$ и $$AC = 6$$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $$BKN$$: $$BN^2 + KN^2 = BK^2$$. Так как $$KN$$ - серединный перпендикуляр, то $$BN = NC$$. Тогда $$BC = BK + KC = 4 + 4 = 8$$, а $$BN = \frac{BC}{2} = \frac{8}{2} = 4$$. Рассмотрим треугольник $$AKC$$. По теореме косинусов: $$AC^2 = AK^2 + KC^2 - 2 \cdot AK \cdot KC \cdot \cos(\angle AKC)$$ Однако, найти $$\angle AKC$$ сложно. Вместо этого можно воспользоваться свойством серединного перпендикуляра, согласно которому любая точка на серединном перпендикуляре равноудалена от концов отрезка. Значит, $$AK = CK = 4$$. Следовательно, $$AK:KC = 4:4 = 1:1$$ **Ответ:** 1:1