В треугольнике ABC проведены медиана BM и высота BH. Известно, что AC = 24 дм и BC = BM. Найдите AH.

Дано: ΔABC, BM - медиана, BH - высота, BM = BC, AC = 24 дм.

Найти: AH.

Решение:

Так как BM - медиана, то AM = MC = AC/2 = 24/2 = 12 дм.

Так как BC = BM, то ΔBMC - равнобедренный. BH - высота, а значит, она также является и медианой. Следовательно, HC = MC = 12 дм.

Тогда AH = AM - HC = 12 - HC

AH = AM + MH, так как точка H лежит между точками A и M.

AH = AM + MH = 12 + MH.

Так как BH - высота, то ΔBHC - прямоугольный.

Так как BH - медиана, HC = MH.

AH = AM - MH, следовательно AH = AM - HC = 12 - HC.

Так как BH высота и медиана, то HC = MH.

Тогда AC = AH + HC = AH + MH + MC = AH+ HC следовательно HC=MH

AH = AC - HC = 24 - HC.

Так как BM=BC и BH - высота, то в равнобедренном треугольнике BMC высота BH является и медианой, следовательно MH=HC = MC= 12 дм, АМ = 12 дм.

AH = AM - MH = 12 - MH , Н лежит между A и М.

AH = AM + MH, H лежит вне отрезка AM.

AC = AH + HC = 24 дм.

Следовательно, AH + HC = AC = 24 дм.

Так как НC = MC = 12 дм, то AH + 12 = 24

AH = 24 - 12 = 12 дм

Ответ: AH = 12 дм