В треугольнике ABC угол ABC равен 120°, AB=BC, BM - медиана. На луче BM отметили точку F так, что угол BAF 90°. Найдите MF, если АВ=24 дм.

Дано: ΔABC, AB = BC, ∠ABC = 120°, BM - медиана, F ∈ (BM), ∠BAF = 90°, AB = 24 дм.

Найти: MF.

Решение:

1) Так как AB = BC, то ΔABC - равнобедренный. BM - медиана, проведенная к основанию AC, следовательно, BM является также биссектрисой и высотой.

2) ∠ABM = ∠CBM = ∠ABC / 2 = 120° / 2 = 60°.

3) Так как BM - высота, то ∠BMA = 90°.

4) Рассмотрим ΔABM: ∠BAM = 180° - ∠ABM - ∠BMA = 180° - 60° - 90° = 30°.

5) ∠BAF = 90° (по условию). Тогда ∠MAF = ∠BAF - ∠BAM = 90° - 30° = 60°.

6) Так как BM - луч, значит, точки B, M и F лежат на одной прямой.

7) В ΔABM: AM = AB * cos(∠BAM) = 24 * cos(30°) = 24 * $${\sqrt{3}}/2$$ = 12√3 дм.

8) Рассмотрим ΔAMF: ∠AMF = 90°, ∠MAF = 60°, следовательно, ∠AFM = 180° - 90° - 60° = 30°.

9) В ΔAMF: AM = MF * tg(∠AFM), то есть AM = MF * tg(60°).

Следовательно, MF = AM / tg(60°) = (12√3) / √3 = 12 дм.

Ответ: MF = 12 дм.