В треугольнике ABC проведены медиана BM и высота BH. Известно, что AC = 59 и BC = BM. Найдите AH.

Так как BM — медиана, точка M является серединой отрезка AC:

\(AM=MC=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{59}{2}=29.5\).

Обозначим \(AH=x\). Тогда \(HC=59-x\).

Из прямоугольных треугольников \(BHM\) и \(BHC\):

\(BM^2=BH^2+(HM)^2\), \(BC^2=BH^2+(HC)^2\).

По условию \(BM=BC\), поэтому \(HM=HC\). Следовательно,

\(x-29.5=59-x\).

\(2x=88.5\), откуда \(x=44.25\).

Ответ: 44,25