11. В треугольнике ABC угол A равен 45°, AH - высота. Окружность, проходящая через точки A, H и C, пересекает сторону AB в точке E. Найдите радиус этой окружности, если EC = $$4\sqrt{2}$$.

Решение: 1. Так как AH - высота, то $$\angle AHC = 90^\circ$$. 2. Четырехугольник AHCE вписан в окружность. Значит, сумма противоположных углов равна 180°. Тогда $$\angle AEC = 180^\circ - \angle AHC = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$$. 3. Следовательно, треугольник AEC - прямоугольный, и EC - катет, противолежащий углу A. 4. $$\angle ACE = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$$. 5. Значит, треугольник AEC - равнобедренный, и AE = EC = $$4\sqrt{2}$$. 6. Тогда AC = $$EC\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 4 \cdot 2 = 8$$. 7. Окружность, проходящая через точки A, H и C, является описанной около прямоугольного треугольника AHC. Центр этой окружности лежит на середине гипотенузы AC. 8. Радиус окружности равен половине гипотенузы, то есть R = $$\frac{AC}{2} = \frac{8}{2} = 4$$. **Ответ: 4**