В треугольнике ABC угол A равен 45°, угол B равен 30°, BC=8√2. Найдите AC, AB, угол C.

Сначала найдём третий угол треугольника:

\(\angle C=180^\circ-45^\circ-30^\circ=105^\circ\).

По теореме синусов \(\dfrac{BC}{\sin A}=\dfrac{AC}{\sin B}=\dfrac{AB}{\sin C}\). Подставим известные значения: \(\dfrac{8\sqrt2}{\sin45^\circ}=\dfrac{8\sqrt2}{\sqrt2/2}=16\).

Тогда \(AC=16\sin30^\circ=16\cdot\dfrac12=8\).

Для стороны \(AB\): \(AB=16\sin105^\circ\). Используя формулу суммы углов, \(\sin105^\circ=\sin(60^\circ+45^\circ)=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\), поэтому \(AB=4(\sqrt6+\sqrt2)\).

Ответ: \(AC=8\), \(AB=4(\sqrt6+\sqrt2)\), \(\angle C=105^\circ\).