В треугольнике ABC угол ABC равен 120°, AB = BC, BM - медиана. На луче BM отметили точку F такую, что AF = 90°. Найдите FM, если AB = 30.

Поскольку $$AB = BC$$ и $$\angle ABC = 120^{\circ}$$, то $$\angle BAC = \angle BCA = (180^{\circ} - 120^{\circ})/2 = 30^{\circ}$$. Так как $$BM$$ - медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, то она также является биссектрисой и высотой. Следовательно, $$\angle ABM = \angle CBM = 120^{\circ}/2 = 60^{\circ}$$ и $$\angle AMB = 90^{\circ}$$. $$\angle AFM = 90^{\circ}$$, значит, треугольник $$AFM$$ - прямоугольный. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABM$$. $$AM = AB \cdot sin(\angle ABM)$$. Поскольку $$AM = AB \cdot sin(60^{\circ}) = 30 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3}$$. $$\angle BAM = 30^{\circ}$$. Так как $$\angle AFM = 90^{\circ}$$, то $$\angle BAF = 90 - \angle BAM = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$$. Так как $$AF = 90$$, то $$AM = AF \cdot cos(\angle FAM) = 90$$. Тогда $$cos(\angle FAM) = \frac{AM}{AF} = \frac{15\sqrt{3}}{90} = \frac{\sqrt{3}}{6}$$. $$\angle ABM = 60^{\circ}$$, $$AB=BC=30$$ , $$BM$$ - медиана и высота. Тогда $$AM = MC$$, $$BM = AB \cdot cos(30^{\circ}) = 30 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3}$$. Рассмотрим треугольник $$AFM$$ - прямоугольный, тогда $$FM = \sqrt{AF^2 - AM^2} = \sqrt{90^2 - (15\sqrt{3})^2} = \sqrt{8100 - 675} = \sqrt{7425} = 15\sqrt{33}$$. Ответ: $$15\sqrt{33}$$