В треугольнике ABC угол C прямой, AC = 3, BC = 4. Найдите длину вектора AB + CA.

Нам дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C, где AC = 3 и BC = 4. Наша задача - найти длину вектора $$\vec{AB} + \vec{CA}$$.

Давайте перепишем сумму векторов, используя свойства векторной алгебры. $$\vec{CA}$$ - это вектор, противоположный вектору $$\vec{AC}$$. Значит, $$\vec{CA} = -\vec{AC}$$.

Теперь наше выражение выглядит так: $$\vec{AB} + \vec{CA} = \vec{AB} - \vec{AC}$$. Чтобы найти разность векторов $$\vec{AB} - \vec{AC}$$, можно представить ее как сумму векторов $$\vec{AB} + \vec{CC}$$.

Для удобства, давайте выполним сложение векторов $$\vec{AB} + \vec{CA}$$. Можно заменить $$\vec{AB}$$ на $$\vec{CB} - \vec{CA}$$. Тогда выражение будет выглядеть так: $$\vec{CB} - \vec{CA} + \vec{CA}$$. Векторы $$\vec{CA}$$ и $$\vec{-CA}$$ взаимно уничтожаются. Таким образом, $$\vec{AB} + \vec{CA} = \vec{CB}$$.

Нам нужно найти длину вектора $$\vec{CB}$$, которая равна длине отрезка CB.

По условию задачи, длина отрезка BC равна 4. Следовательно, длина отрезка CB также равна 4.

Таким образом, длина вектора $$\vec{AB} + \vec{CA}$$ равна 4.