В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 3, cos A = \(\frac{\sqrt{5}}{5}\). Найдите длину стороны BC.

Ответ: 6

Шаг 1: В прямоугольном треугольнике ABC с углом C = 90° и AC = 3, дано cos A = \(\frac{\sqrt{5}}{5}\). Мы знаем, что \( cos A = \frac{AC}{AB} \). Отсюда можно найти AB: \[ AB = \frac{AC}{cos A} = \frac{3}{\frac{\sqrt{5}}{5}} = \frac{3 \cdot 5}{\sqrt{5}} = \frac{15}{\sqrt{5}} \] Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{5}\): \[ AB = \frac{15 \sqrt{5}}{5} = 3 \sqrt{5} \]

Шаг 2: Теперь, когда мы знаем AB и AC, мы можем найти BC, используя теорему Пифагора: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \] \[ BC^2 = AB^2 - AC^2 \] \[ BC^2 = (3 \sqrt{5})^2 - 3^2 = 9 \cdot 5 - 9 = 45 - 9 = 36 \] \[ BC = \sqrt{36} = 6 \]

Ответ: 6