В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH – высота, AB = 45, sin A = \frac{2}{3}. Найдите длину отрезка BH.

Ответ: 20

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где угол C = 90°.

Дано: AB = 45, sin A = \frac{2}{3}

Найти: BH

Решение:

1. Найдем BC, используя определение синуса:

\[sin A = \frac{BC}{AB}\]\[\frac{2}{3} = \frac{BC}{45}\]\[BC = \frac{2}{3} \times 45 = 30\]

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник BCH, где угол H = 90°.

3. Найдем AH:

\[cos A = \frac{AC}{AB}\]

Из основного тригонометрического тождества:

\[sin^2 A + cos^2 A = 1\]\[cos^2 A = 1 - sin^2 A = 1 - (\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}\]\[cos A = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}\]\[\frac{\sqrt{5}}{3} = \frac{AC}{45}\]\[AC = \frac{\sqrt{5}}{3} \times 45 = 15\sqrt{5}\]

4. Найдем BH:

\[AB = AH + BH\]\[AH = AB - BH\]

Следовательно, BH можно найти как:

\[BH = \frac{BC^2}{AB} = \frac{30^2}{45} = \frac{900}{45} = 20\]

Ответ: 20