В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH – высота, AB = 100, sinA=4/5. Найдите длину отрезка AH.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где угол C равен 90 градусам.

Дано: AB = 100, sin A = 4/5.

CH - высота, проведенная из вершины C к гипотенузе AB. Нам нужно найти длину отрезка AH.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. В этом треугольнике AH является прилежащим катетом к углу A, а AC – гипотенузой.

Сначала найдем AC. В прямоугольном треугольнике ABC синус угла A равен отношению противолежащего катета (BC) к гипотенузе (AB):

$$sin A = \frac{BC}{AB}$$

Тогда:

$$\frac{4}{5} = \frac{BC}{100}$$

Отсюда BC = (4/5) * 100 = 80.

Теперь найдем AC, используя теорему Пифагора для треугольника ABC:

$$AC^2 + BC^2 = AB^2$$ $$AC^2 + 80^2 = 100^2$$ $$AC^2 + 6400 = 10000$$ $$AC^2 = 3600$$ $$AC = \sqrt{3600} = 60$$

В прямоугольном треугольнике ACH косинус угла A равен отношению прилежащего катета AH к гипотенузе AC:

$$cos A = \frac{AH}{AC}$$

Найдем cos A, зная sin A. Используем основное тригонометрическое тождество:

$$sin^2 A + cos^2 A = 1$$ $$(\frac{4}{5})^2 + cos^2 A = 1$$ $$\frac{16}{25} + cos^2 A = 1$$ $$cos^2 A = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$$ $$cos A = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$$

Теперь найдем AH:

$$\frac{3}{5} = \frac{AH}{60}$$ $$AH = \frac{3}{5} * 60 = 36$$

Ответ: 36