9 В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH – высота, AB=100, sinA=\frac{4}{5}. Найдите длину отрезка AH.

Ответ: 64

1. В прямоугольном треугольнике ABC: \[\sin A = \frac{BC}{AB}\] BC = AB * sin A = 100 * \frac{4}{5} = 80
2. По теореме Пифагора найдем AC: \[AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{100^2 - 80^2} = \sqrt{10000 - 6400} = \sqrt{3600} = 60\]
3. В прямоугольном треугольнике AHC: \[\cos A = \frac{AH}{AC}\] \[\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}\] AH = AC * cos A = 60 * \frac{3}{5} = 36
4. Рассмотрим треугольник АВС: \[AB^2 = AC^2 + BC^2\] \[100^2 = 36^2 + BC^2\] \[BC^2 = 10000 - 1296 = 8704\] \[BC = \sqrt{8704} = 93,08\]
5. В прямоугольном треугольнике AHC: \[AC^2 = AH^2 + CH^2\] CH = BC * cos A = 93,08 * \frac{3}{5} = 55,85
6. AH = \sqrt{AC^2 - CH^2} = \sqrt{36^2 - 55,85^2} = \sqrt{1296 - 3119,22} = \sqrt{-1823,22}
7. Так как синус угла А = 4/5, то cos A = 3/5. \[\cos A = \frac{AH}{AC}\] Выразим АН: \[AH = AC \cdot \cos A\] Нам нужно найти АС. \[\sin A = \frac{BC}{AB}\] Выразим ВС: \[BC = AB \cdot \sin A = 100 \cdot \frac{4}{5} = 80\] По теореме Пифагора найдем АС: \[AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{100^2 - 80^2} = \sqrt{10000 - 6400} = \sqrt{3600} = 60\] Теперь найдем АН: \[AH = 60 \cdot \frac{3}{5} = 36\]

Ответ: 36