В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, AB = 100, sin A = \frac{4}{5}. Найдите длину отрезка AH.

Логика такая:

1. Найдем катет BC, используя синус угла A:

\[\sin A = \frac{BC}{AB}\]

\[BC = AB \cdot \sin A = 100 \cdot \frac{4}{5} = 80\]

2. Найдем катет AC, используя теорему Пифагора:

\[AC^2 + BC^2 = AB^2\]

\[AC^2 = AB^2 - BC^2 = 100^2 - 80^2 = 10000 - 6400 = 3600\]

\[AC = \sqrt{3600} = 60\]

3. Найдем AH, используя косинус угла A:

\[\cos A = \frac{AH}{AC}\]

\[AH = AC \cdot \cos A\]

Мы знаем, что \(\sin^2 A + \cos^2 A = 1\), поэтому:

\[\cos^2 A = 1 - \sin^2 A = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}\]

\[\cos A = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}\]

Теперь найдем AH:

\[AH = 60 \cdot \frac{3}{5} = 36\]

Ответ: 36