В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, AB = 10, sin A = 4/5. Найдите AH.

Дано: прямоугольный треугольник ABC, \(\angle C = 90^\circ\), CH - высота, AB = 10, \(\sin A = \frac{4}{5}\). Найти: AH. Решение: 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Синус угла A равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, то есть \(\sin A = \frac{BC}{AB}\). Следовательно, \(BC = AB \cdot \sin A = 10 \cdot \frac{4}{5} = 8\). 2. По теореме Пифагора найдем AC: \(AC^2 + BC^2 = AB^2\), следовательно, \(AC^2 = AB^2 - BC^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36\). Тогда \(AC = \sqrt{36} = 6\). 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник AHC. Косинус угла A равен отношению прилежащего катета к гипотенузе, то есть \(\cos A = \frac{AH}{AC}\). Чтобы найти \(\cos A\), воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \(\sin^2 A + \cos^2 A = 1\). \(\cos^2 A = 1 - \sin^2 A = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}\). \(\cos A = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}\). 4. Теперь найдем AH: \(AH = AC \cdot \cos A = 6 \cdot \frac{3}{5} = \frac{18}{5} = 3.6\). Ответ: **3.6**