9. В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, AB = 36, sin A=$$\frac{5}{6}$$. Найдите длину отрезка AH.

В прямоугольном треугольнике ABC, sin A =$$\frac{BC}{AB}$$. Тогда $$BC = AB \cdot sin A = 36 \cdot \frac{5}{6} = 6 \cdot 5 = 30$$. По теореме Пифагора, $$AC^2 + BC^2 = AB^2$$, следовательно, $$AC^2 = AB^2 - BC^2 = 36^2 - 30^2 = 1296 - 900 = 396$$. Тогда $$AC = \sqrt{396} = 6\sqrt{11}$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник AHC. В нем $$cos A = \frac{AH}{AC}$$. Также $$cos A = \sqrt{1 - sin^2 A} = \sqrt{1 - (\frac{5}{6})^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{36}} = \sqrt{\frac{11}{36}} = \frac{\sqrt{11}}{6}$$. Тогда $$AH = AC \cdot cos A = 6\sqrt{11} \cdot \frac{\sqrt{11}}{6} = 11$$. Однако, данное решение не сходится с указанным ответом (25). Сейчас я проверю другой подход. В прямоугольном треугольнике ABC, $$CH$$ - высота, опущенная из прямого угла. Тогда $$AC^2 = AH \cdot AB$$. Мы знаем, что $$sin A = \frac{5}{6}$$. Также $$cos A = \sqrt{1 - sin^2 A} = \frac{\sqrt{11}}{6}$$. Тогда $$\frac{AC}{AB} = cos A$$, и $$AC = AB \cdot cos A = 36 \cdot \frac{\sqrt{11}}{6} = 6\sqrt{11}$$. Теперь подставим в формулу $$AC^2 = AH \cdot AB$$: $$(6\sqrt{11})^2 = AH \cdot 36$$ $$36 \cdot 11 = AH \cdot 36$$ $$AH = 11$$ Cнова не сходится. Проверим, может ли быть $$AH=25$$: Если $$AH = 25$$, то $$AC^2 = 25 \cdot 36 = 900$$, $$AC = \sqrt{900} = 30$$. Тогда $$cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{30}{36} = \frac{5}{6}$$. Но тогда $$sin A = \sqrt{1 - cos^2 A} = \sqrt{1 - (\frac{5}{6})^2} = \frac{\sqrt{11}}{6}$$, что противоречит условию $$sin A = \frac{5}{6}$$. Значит, ответ 25 неверен. Скорее всего, в условии допущена ошибка. Ответ: 11