В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, AB = 45, $$sinA = \frac{1}{3}$$. Найдите длину отрезка BH.

Дано: Прямоугольный треугольник ABC, \(\angle C = 90^{\circ}\), CH - высота, AB = 45, \(sin A = \frac{1}{3}\). Найти: BH Решение: 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. По определению синуса острого угла в прямоугольном треугольнике: \(sin A = \frac{BC}{AB}\) Тогда: \(BC = AB \cdot sin A = 45 \cdot \frac{1}{3} = 15\) 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник CBH. \(\angle CHB = 90^{\circ}\). По теореме Пифагора: \(BC^2 = BH^2 + CH^2\) Выразим BH: \(BH^2 = BC^2 - CH^2\) 3. Чтобы найти BH, нам нужно выразить CH через известные величины. Сначала найдем cos A. По основному тригонометрическому тождеству: \(sin^2 A + cos^2 A = 1\) Тогда: \(cos^2 A = 1 - sin^2 A = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}\) \(cos A = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}\) 4. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. В нем: \(cos A = \frac{AH}{AC}\) А в треугольнике ABC: \(cos A = \frac{AC}{AB}\) Таким образом: \(AC = AB \cdot cos A = 45 \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = 30\sqrt{2}\) 5. Теперь найдем CH, рассмотрев треугольник ACH. По теореме Пифагора: \(AC^2 = AH^2 + CH^2\) Но это нам ничего не дает. С другой стороны, площадь треугольника ABC можно найти двумя способами: \(S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH\) Отсюда: \(CH = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{30\sqrt{2} \cdot 15}{45} = 10\sqrt{2}\) 6. Теперь, зная BC и CH, найдем BH из треугольника CBH: \(BH = \sqrt{BC^2 - CH^2} = \sqrt{15^2 - (10\sqrt{2})^2} = \sqrt{225 - 200} = \sqrt{25} = 5\) Ответ: 5