23. В треугольнике ABC угол C равен 90°, радиус вписанной окружности равен 2. Найдите площадь треугольника ABC, если AB = 13.

Решение: Пусть a и b - катеты, c - гипотенуза, r - радиус вписанной окружности. Известно, что c = 13, r = 2. Для прямоугольного треугольника: 1. $$a + b - c = 2r$$ (свойство вписанной окружности) Тогда $$a + b - 13 = 2 * 2$$, значит $$a + b = 17$$. 2. $$a^2 + b^2 = c^2$$ (теорема Пифагора) Тогда $$a^2 + b^2 = 13^2 = 169$$. 3. $$(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$$ (возведем в квадрат первое уравнение) Тогда $$17^2 = 169 + 2ab$$, значит $$289 = 169 + 2ab$$, отсюда $$2ab = 120$$, значит $$ab = 60$$. 4. Площадь треугольника: $$S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} * 60 = 30$$. Ответ: 30.