В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB=12, sin A = \(\frac{\sqrt{11}}{6}\). Найдите длину стороны AC.

В прямоугольном треугольнике ABC, где угол C равен 90°, мы имеем:

• Гипотенуза AB = 12
• Синус угла A: \(\sin A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{AB}\)
• Косинус угла A: \(\cos A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AB}\)

Нам дано \(\sin A = \frac{\sqrt{11}}{6}\) и \(AB = 12\).

Из определения синуса, мы можем найти длину катета BC:

$$ \sin A = \frac{BC}{AB} \implies \frac{\sqrt{11}}{6} = \frac{BC}{12} $$

$$ BC = 12 \times \frac{\sqrt{11}}{6} = 2\sqrt{11} $$

Теперь мы можем найти длину катета AC, используя теорему Пифагора \(AC^2 + BC^2 = AB^2\), или через косинус угла A. Найдем \(\cos A\) используя основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2 A + \cos^2 A = 1\).

$$ \cos^2 A = 1 - \sin^2 A = 1 - \left(\frac{\sqrt{11}}{6}\right)^2 = 1 - \frac{11}{36} = \frac{36 - 11}{36} = \frac{25}{36} $$

Так как A - острый угол в прямоугольном треугольнике, \(\cos A > 0\).

$$ \cos A = \sqrt{\frac{25}{36}} = \frac{5}{6} $$

Теперь найдем длину стороны AC:

$$ \cos A = \frac{AC}{AB} \implies \frac{5}{6} = \frac{AC}{12} $$

$$ AC = 12 \times \frac{5}{6} = 2 \times 5 = 10 $$

Ответ: 10