В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 12, sin A = \( \frac{\sqrt{11}}{6} \). Найдите длину стороны AC.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC, где \( \angle C = 90^{\circ} \), синус угла A определяется как отношение противолежащего катета (BC) к гипотенузе (AB):

\( \sin A = \frac{BC}{AB} \)

Нам дано \( \sin A = \frac{\sqrt{11}}{6} \) и \( AB = 12 \).

Подставим известные значения:

\( \frac{\sqrt{11}}{6} = \frac{BC}{12} \)

Чтобы найти длину катета BC, умножим обе стороны уравнения на 12:

\( BC = 12 \times \frac{\sqrt{11}}{6} = 2 \sqrt{11} \)

Теперь, чтобы найти длину катета AC, воспользуемся теоремой Пифагора \( (AC^2 + BC^2 = AB^2) \) или косинусом угла A.

Сначала найдём косинус угла A. Мы знаем, что \( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \).

\( \cos^2 A = 1 - \sin^2 A \)

\( \cos^2 A = 1 - \left(\frac{\sqrt{11}}{6}\right)^2 = 1 - \frac{11}{36} = \frac{36 - 11}{36} = \frac{25}{36} \)

Так как A — острый угол в прямоугольном треугольнике, \( \cos A > 0 \).

\( \cos A = \sqrt{\frac{25}{36}} = \frac{5}{6} \)

Косинус угла A определяется как отношение прилежащего катета (AC) к гипотенузе (AB):

\( \cos A = \frac{AC}{AB} \)

Подставим известные значения:

\( \frac{5}{6} = \frac{AC}{12} \)

Чтобы найти длину катета AC, умножим обе стороны уравнения на 12:

\( AC = 12 \times \frac{5}{6} = 2 \times 5 = 10 \)

Ответ: 10