В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 4, cos A = $$\frac{4\sqrt{65}}{65}$$. Найдите длину стороны BC.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Находим длину гипотенузы AB.
   По определению косинуса в прямоугольном треугольнике: $$\cos A = \frac{AC}{AB}$$.
   Подставляем известные значения: $$\frac{4\sqrt{65}}{65} = \frac{4}{AB}$$.
   Выражаем AB: $$AB = \frac{4 · 65}{4\sqrt{65}} = \frac{65}{\sqrt{65}} = \sqrt{65}$$.
2. Шаг 2: Находим длину катета BC.
   Используем теорему Пифагора: $$AC^2 + BC^2 = AB^2$$.
   Подставляем известные значения: $$4^2 + BC^2 = (\sqrt{65})^2$$.
   $$16 + BC^2 = 65$$.
   Выражаем $$BC^2$$: $$BC^2 = 65 - 16 = 49$$.
   Находим BC: $$BC = \sqrt{49} = 7$$.
3. Альтернативный метод (через тангенс):
   Сначала найдем $$\sin A$$. Зная $$\cos A = \frac{4\sqrt{65}}{65}$$, можно найти $$\sin A$$ по основному тригонометрическому тождеству $$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$$.
   $$\sin^2 A = 1 - (\frac{4\sqrt{65}}{65})^2 = 1 - \frac{16 · 65}{65^2} = 1 - \frac{16}{65} = \frac{65 - 16}{65} = \frac{49}{65}$$.
   $$\sin A = \sqrt{\frac{49}{65}} = \frac{7}{\sqrt{65}}$$.
   Теперь найдем $$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{7/\sqrt{65}}{4\sqrt{65}/65} = \frac{7}{\sqrt{65}} · \frac{65}{4\sqrt{65}} = \frac{7 · 65}{4 · 65} = \frac{7}{4}$$.
   Также по определению тангенса в прямоугольном треугольнике: $$\tan A = \frac{BC}{AC}$$.
   $$\frac{7}{4} = \frac{BC}{4}$$.
   Следовательно, $$BC = 7$$.

Ответ: BC = 7