В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, AB = 90, sin A = \(\frac{2}{3}\). Найдите длину отрезка BH.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. В прямоугольном треугольнике ABC:
• \(\text{sin } A = \frac{BC}{AB}\).
• Нам дано \(\text{sin } A = \frac{2}{3}\) и \(AB = 90\).
• \(\frac{BC}{90} = \frac{2}{3}\)
• \(BC = 90 \times \frac{2}{3} = 30 \times 2 = 60\).
2. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник CHB. Угол B в треугольнике CHB равен углу B в треугольнике ABC.
3. В треугольнике ABC, \(\text{cos } A = \frac{AC}{AB}\). Также \(\text{sin } B = \text{cos } A\).
4. Чтобы найти \(\text{cos } A\), используем основное тригонометрическое тождество: \(\text{sin}^2 A + \text{cos}^2 A = 1\).
5. \((\frac{2}{3})^2 + \text{cos}^2 A = 1\)
6. \(\frac{4}{9} + \text{cos}^2 A = 1\)
7. \(\text{cos}^2 A = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}\)
8. \(\text{cos } A = \frac{\sqrt{5}}{3}\) (так как угол A острый, косинус положительный).
9. Следовательно, \(\text{sin } B = \frac{\sqrt{5}}{3}\).
10. В прямоугольном треугольнике CHB:
• \(\text{sin } B = \frac{CH}{BC}\)
• \(\text{cos } B = \frac{BH}{BC}\)
11. Чтобы найти BH, нам нужен \(\text{cos } B\). Из того же основного тригонометрического тождества для угла B: \(\text{sin}^2 B + \text{cos}^2 B = 1\).
12. \((\frac{\sqrt{5}}{3})^2 + \text{cos}^2 B = 1\)
13. \(\frac{5}{9} + \text{cos}^2 B = 1\)
14. \(\text{cos}^2 B = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}\)
15. \(\text{cos } B = \frac{2}{3}\) (так как угол B острый, косинус положительный).
16. Теперь используем формулу \(\text{cos } B = \frac{BH}{BC}\):
17. \(\frac{2}{3} = \frac{BH}{60}\)
18. \(BH = 60 \times \frac{2}{3} = 20 \times 2 = 40\).

Ответ: 40