Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен \(90^{\circ}\), \(CH\) — высота, \(AB = 45\), \(\sin A = \frac{2}{3}\). Найдите длину…Фото задания

Ответ:

Решение:

В прямоугольном треугольнике \(ABC\):

  1. Найдем \(\sin B\): \(\sin B = \cos A\). Так как \(\sin^2 A + \cos^2 A = 1\), то \(\cos^2 A = 1 - (2/3)^2 = 1 - 4/9 = 5/9\). Следовательно, \(\cos A = \sqrt{5}/3\) (так как угол \(A\) острый, \(\cos A > 0\)).
  2. Тогда \(\sin B = \sqrt{5}/3\).
  3. В прямоугольном треугольнике \(ABC\): \(\sin B = \frac{AC}{AB}\) и \(\cos B = \frac{BC}{AB}\).
  4. Найдем \(AC\): \(AC = AB \cdot \sin B = 45 \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} = 15\sqrt{5}\).
  5. Найдем \(BC\): \(BC = AB \cdot \cos B\). Нам нужно \(\cos B\). \(\sin B = \sqrt{5}/3\). \(\cos^2 B = 1 - \sin^2 B = 1 - (5/9) = 4/9\). \(\cos B = 2/3\).
  6. \(BC = 45 \cdot \frac{2}{3} = 30\).

В прямоугольном треугольнике \(ACH\), угол \(H = 90^{\circ}\).

\(\sin A = \frac{CH}{AC}\), \(\cos A = \frac{AH}{AC}\).

Нам нужно найти \(AH\).

\(AH = AC \cdot \cos A = (15\sqrt{5}) \cdot (\sqrt{5}/3) = 15 \cdot 5 / 3 = 75 / 3 = 25\).

Ответ: 25