В треугольнике АВС ∠A = 70°, ∠C = 55°. а) Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный, и укажите его основание. б) Отрезок ВМ — высота данного треугольника. Найдите углы, на которые она делит угол АВС.

a) Дано: ∠A = 70°, ∠C = 55° в треугольнике ABC. Найдем ∠B: Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому $$∠A + ∠B + ∠C = 180°$$ $$70° + ∠B + 55° = 180°$$ $$∠B = 180° - 70° - 55°$$ $$∠B = 55°$$ Так как ∠B = ∠C = 55°, треугольник ABC – равнобедренный, и основание - AC. б) Так как BM - высота, ∠BMA = 90°. В треугольнике ABM, ∠BAM = 70°, ∠BMA = 90°, следовательно, $$∠ABM = 180° - 90° - 70° = 20°$$ Так как треугольник ABC равнобедренный и BM - высота, то BM также является медианой и биссектрисой. Следовательно, AM = MC и ∠ABM = ∠CBM. Таким образом, ∠CBM = ∠ABC / 2 = 55° / 2 = 27.5° Угол ABC делится высотой BM на два угла: ∠ABM и ∠CBM. Мы нашли, что ∠ABM = 20° (но это неверно, так как BM не является медианой, и АВС не равносторонний) и ∠CBM = 55 -20 = 35. Но мы нашли что ∠ABM = 20° только приняв, что треугольник ABM. Рассмотрим треугольник BMC. ∠BCM = 55, ∠BMC = 90. ∠MBC = 180 - 90 - 55 = 35° Ответ: а) Треугольник ABC – равнобедренный с основанием AC. б) ∠ABM = 20°, ∠CBM = 35°