4. В треугольнике АВС A(3;-1), B(-5; 7), C(1; 5). Найдите длину средней линии КР треугольника АВС, где точки К и Р дины сторон АВ и ВС соответственно.

Найдем координаты точек K и P, которые являются серединами сторон AB и BC соответственно.

Координаты середины отрезка находятся как среднее арифметическое координат концов отрезка.

$$K(\frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2})$$

$$K(\frac{3 + (-5)}{2}; \frac{-1 + 7}{2})$$

$$K(\frac{-2}{2}; \frac{6}{2})$$

$$K(-1; 3)$$

$$P(\frac{x_B + x_C}{2}; \frac{y_B + y_C}{2})$$

$$P(\frac{-5 + 1}{2}; \frac{7 + 5}{2})$$

$$P(\frac{-4}{2}; \frac{12}{2})$$

$$P(-2; 6)$$

Длина средней линии KP равна расстоянию между точками K и P.

$$KP = \sqrt{(x_P - x_K)^2 + (y_P - y_K)^2}$$

$$KP = \sqrt{(-2 - (-1))^2 + (6 - 3)^2}$$

$$KP = \sqrt{(-2 + 1)^2 + (3)^2}$$

$$KP = \sqrt{(-1)^2 + 9}$$

$$KP = \sqrt{1 + 9}$$

$$KP = \sqrt{10}$$

Ответ: $$\sqrt{10}$$