В треугольнике АВС $$AA_1$$ — медиана, М — середина на $$AA_1$$. Выразите вектор $$overrightarrow{BM}$$ через векторы $$overrightarrow{a} = \overrightarrow{BA}$$ и $$overrightarrow{b} = \overrightarrow{BC}$$.

Т.к. $$AA_1$$ - медиана, то $$A_1$$ - середина $$BC$$, значит $$\overrightarrow{BA_1} = \overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{b}$$.

Т.к. M - середина $$AA_1$$, то $$\overrightarrow{BM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BA_1}) = \frac{1}{2}(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{b}) = \frac{1}{2}(2\overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{b}) = \overrightarrow{a} + \frac{1}{4}\overrightarrow{b}$$.

Ответ: $$\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{a} + \frac{1}{4}\overrightarrow{b}$$.