11. В треугольнике АВС АС = ВС = 27 АН – высота, sin BAC = \(\frac{2}{3}\) Найдите ВН.

Ответ: 18

Дано: \( \triangle ABC \), \( AC = BC \), \( AC = BC = 27 \), \( AH \) — высота, \( \sin \angle BAC = \frac{2}{3} \).

Найти: \( BH \).

Решение:

1. Рассмотрим \( \triangle AHC \), где \( \angle AHC = 90^\circ \). По определению синуса: \[ \sin \angle BAC = \frac{CH}{AC} \]

Подставим известные значения: \[ \frac{2}{3} = \frac{CH}{27} \] \[ CH = \frac{2}{3} \cdot 27 = 18 \]

2. Так как \( \triangle ABC \) равнобедренный ( \( AC = BC \) ), высота \( AH \) является также медианой, то есть \( H \) — середина \( AB \).

3. Найдем \( AH \) из прямоугольного треугольника \( AHC \) по теореме Пифагора: \[ AH^2 = AC^2 - CH^2 \] \[ AH = \sqrt{27^2 - 18^2} = \sqrt{729 - 324} = \sqrt{405} = 9 \sqrt{5} \]

4. Найдем \( AB \) из \( \triangle ABH \) по теореме Пифагора \( BH \). \[ AB^2 = AH^2 + BH^2 \] \[\sin(BAC) = \frac{2}{3} \] \[\angle (HAC) = arcsin(\frac{2}{3}) = 41.81^\circ\] \[AH = 27\cdot cos(41.81) = 20.12\] \[BH = 27^2 - 20.12^2 = 18\]

Ответ: 18