16 В треугольнике АВС АВ = ВС, а высота АН делит сторону ВС на отрезки ВН = 18 и СН = 18. Найдите cos∠B.

Разбираемся: 1) Так как высота AH делит BC на отрезки BH = 18 и CH = 18, то BC = BH + CH = 18 + 18 = 36. 2) Треугольник ABC равнобедренный (AB = BC), поэтому AB = BC = 36. 3) Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. В нем cos∠B = \(\frac{BH}{AB}\) = \(\frac{18}{36}\) = \(\frac{1}{2}\). 4) Но это не правильно! cos B = BH/AB - только для прямоугольного треугольника. Нарисуем рисунок. 5) Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle ABH\). По теореме Пифагора: \[AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{36^2 - 18^2} = \sqrt{1296 - 324} = \sqrt{972} = 18\sqrt{3}\] 6) Рассмотрим \(\triangle AHC\): \(AH = 18\sqrt{3}\), \(HC = 18\). Тогда \[AC = \sqrt{AH^2 + HC^2} = \sqrt{(18\sqrt{3})^2 + 18^2} = \sqrt{972 + 324} = \sqrt{1296} = 36\] 7) По теореме косинусов: \[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot cos∠B\] \[36^2 = 36^2 + 36^2 - 2 \cdot 36 \cdot 36 \cdot cos∠B\] \[1296 = 1296 + 1296 - 2592 \cdot cos∠B\] \[2592 \cdot cos∠B = 1296\] \[cos∠B = \frac{1296}{2592} = \frac{1}{2}\] 8) Это тоже не правильно! Снова рисуем рисунок. А если высота падает вне треугольника? 9) \(BH = 18\), \(CH = 18\), следовательно \(BC = |BH - CH| = |18 - 18| = 0\). Задача не имеет решения. Данные противоречивы.

Ответ: 1/2

Проверка за 10 секунд: Убедись, что правильно определил стороны треугольника и применил теорему косинусов.

Редфлаг: Всегда проверяй, что данные задачи не противоречивы, иначе можно потратить время на решение невозможной задачи.