Решение задачи 121:

Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle C = 90^\circ\), \(AC = 6\) см, \(BC = 8\) см, \(CM\) - медиана, \(CK \perp (ABC)\), \(CK = 12\) см.

Найти: \(KM\)

Решение:

1. Т.к. \(\triangle ABC\) - прямоугольный, то по теореме Пифагора $$ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ см}. $$
2. Т.к. \(CM\) - медиана, проведенная к гипотенузе, то $$ CM = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5 \text{ см}. $$
3. Т.к. \(CK \perp (ABC)\), то \(CK \perp CM\), значит \(\triangle CKM\) - прямоугольный. Тогда по теореме Пифагора $$ KM = \sqrt{CK^2 + CM^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \text{ см}. $$

Ответ: \(KM = 13 \text{ см}\)