5. В треугольнике АВС известно, что ∠B = 90°, ∠ACB = 60°, отрезок CD — бис- сектриса треугольника. Найдите катет АВ, если BD = 5 см.

Дано: ΔABC, ∠B = 90°, ∠ACB = 60°, CD - биссектриса, BD = 5 см.

Найти: AB.

Решение:

∠A = 180° - (∠B + ∠C) = 180° - (90° + 60°) = 30°.

Так как CD - биссектриса, то ∠ACD = ∠DCB = ∠ACB : 2 = 60° : 2 = 30°.

Рассмотрим треугольник BCD.

Сумма углов треугольника BCD = 180°.

∠BDC = 180° - (∠DBC + ∠DCB) = 180° - (90° + 30°) = 60°.

Рассмотрим треугольник ADC.

Сумма углов треугольника ADC = 180°.

∠ADC = 180° - (∠DAC + ∠DCA) = 180° - (30° + 30°) = 120°.

Рассмотрим треугольник BDC.

Так как сумма углов BDC равна 60°, то треугольник BDC - равносторонний, то есть BD = BC = CD = 5 см.

Рассмотрим треугольник ABC.

Так как катет BC лежит против угла в 30°, то AB = 2 * BC.

AB = 2 * 5 = 10 см.

Ответ: 10 см