5. В треугольнике АВС известно, что ∠B = 90°, ZAСВ = 60°, отрезок CD – бис- сектриса треугольника. Найдите катет АВ, если BD = 5 см.

Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle B = 90^\circ\), \(\angle ACB = 60^\circ\), \(CD\) - биссектриса, \(BD = 5\) см.

Найти: \(AB\)

Решение:

1. \(\angle BAC = 180^\circ - \angle ABC - \angle ACB = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\)
2. Т.к. \(CD\) - биссектриса, то \(\angle ACD = \angle DCB = \frac{1}{2} \angle ACB = \frac{1}{2} \times 60^\circ = 30^\circ\)
3. Рассмотрим \(\triangle BDC\). \(\angle BCD = 30^\circ\), \(\angle DBC = 90^\circ\), следовательно \(\angle BDC = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\)
4. По теореме синусов: $$\frac{BD}{\sin \angle BCD} = \frac{BC}{\sin \angle BDC}$$ $$\frac{5}{\sin 30^\circ} = \frac{BC}{\sin 60^\circ}$$ $$BC = \frac{5 \times \sin 60^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{5 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = 5\sqrt{3}$$
5. Рассмотрим \(\triangle ABC\). \(\angle BAC = 30^\circ\). Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Следовательно, \(BC = \frac{1}{2}AC\), \(AC = 2BC = 10\sqrt{3}\)
6. По теореме Пифагора: $$AB = \sqrt{AC^2 - BC^2} = \sqrt{(10\sqrt{3})^2 - (5\sqrt{3})^2} = \sqrt{300 - 75} = \sqrt{225} = 15$$

Ответ: 15 см