5. В треугольнике АВС известно, что ∠B = 90°, ∠ACB = 60°, отрезок CD биссектриса треугольника. Найдите катет АВ, если BD = 5 см.

Ответ: AB = 5\(\sqrt{3}\) см

1. В треугольнике ABC: ∠B = 90°, ∠ACB = 60°, следовательно, ∠BAC = 180° - 90° - 60° = 30°.
2. CD - биссектриса, значит ∠ACD = ∠DCB = 60° / 2 = 30°.
3. В треугольнике BCD: ∠DBC = 90°, ∠DCB = 30°, следовательно, ∠BDC = 180° - 90° - 30° = 60°.
4. По теореме синусов: BD / sin(∠DCB) = BC / sin(∠BDC).
5. BC = (BD * sin(∠BDC)) / sin(∠DCB) = (5 * sin(60°)) / sin(30°) = (5 * (\(\sqrt{3}\) / 2)) / (1 / 2) = 5\(\sqrt{3}\).
6. Теперь рассмотрим треугольник ABC, в котором угол B равен 90 градусам.
7. Используя тангенс угла C: tan(∠ACB) = AB / BC.
8. Следовательно, AB = BC * tan(∠ACB) = 5\(\sqrt{3}\) * tan(60°) = 5\(\sqrt{3}\) * \(\sqrt{3}\) = 15.

Ответ: AB = 5\(\sqrt{3}\) см