3. В треугольнике АВС известно, что ∠C=90°, ∠A=60°. На катете ВС отметили точку К такую, что ∠AKC=60-. Найдите отрезок СК, если ВК=12 см.

Решение:

Дано: ΔABC, ∠C = 90°, ∠A = 60°, K ∈ BC, ∠AKC = 60°, BK = 12 см.

Найти: CK.

1. ∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 60° - 90° = 30°
2. ∠AKB = 180° - ∠AKC = 180° - 60° = 120°
3. ∠KAB = 180° - ∠AKB - ∠B = 180° - 120° - 30° = 30°
4. Следовательно, ΔABK - равнобедренный, т.к. ∠KAB = ∠B = 30°. => AK = BK = 12 см.
5. В ΔAKC: ∠A = 180° - ∠AKC - ∠C = 180° - 60° - 90° = 30°
6. Рассмотрим ΔAKC. Т.к. $$sin∠AKC = \frac{AC}{AK}$$, то $$sin60^{\circ} = \frac{AC}{12}$$
7. Следовательно, $$AC = 12*sin60^{\circ} = 12*\frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$$ см.
8. Рассмотрим ΔAKC. Т.к. $$tg∠AKC = \frac{AC}{KC}$$, то $$tg60^{\circ} = \frac{6\sqrt{3}}{KC}$$
9. Следовательно, $$KC = \frac{6\sqrt{3}}{tg60^{\circ}} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 6$$ см.

Ответ: СК = 6 см.