3. В треугольнике MNF известно, что ∠N=90°, М=30=, отрезок FD - биссектриса. Найдите катет MN, если FD=20 см.

Решение:

Дано: ΔMNF, ∠N = 90°, ∠M = 30°, FD - биссектриса, FD = 20 см.

Найти: MN.

1. Т.к. FD - биссектриса, то ∠NFD = ∠MFD.
2. ∠F = 180° - ∠N - ∠M = 180° - 90° - 30° = 60°
3. ∠MFD = ∠NFD = ∠F/2 = 60°/2 = 30°
4. Рассмотрим ΔNFD. Т.к. сумма углов в треугольнике равна 180°, то ∠NDF = 180° - ∠N - ∠NFD = 180° - 90° - 30° = 60°
5. Т.к. $$sin∠NFD = \frac{ND}{FD}$$, то $$sin30^{\circ} = \frac{ND}{20}$$
6. Следовательно, $$ND = 20*sin30^{\circ} = 20*\frac{1}{2} = 10$$ см.
7. Рассмотрим ΔMNF. Т.к. $$tg∠M = \frac{NF}{MN}$$, то $$tg30^{\circ} = \frac{20+10}{MN}$$
8. Следовательно, $$MN = \frac{30}{tg30^{\circ}} = \frac{30}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{30*3}{\sqrt{3}} = \frac{90}{\sqrt{3}} = \frac{90*\sqrt{3}}{3} = 30\sqrt{3}$$ см.

Ответ: $$MN = 30\sqrt{3}$$ см.