4. В треугольнике АВС известно, что ∠C= 90°, ∠B = 30. На катете ВС отметили точку В такую, что ∠ADC = = 60. Найдите катет ВС, если CD = 5 см.

Ответ: BC = 15 см

1. Рассмотрим треугольник ADC.
   • Угол ADC = 60 градусов, угол C = 90 градусов.
   • Следовательно, угол DAC = 180 - 90 - 60 = 30 градусов.
2. В прямоугольном треугольнике ADC, где угол DAC = 30 градусов, катет CD, лежащий против этого угла, равен половине гипотенузы AD.
   • Таким образом, AD = 2 * CD = 2 * 5 = 10 см.
3. Рассмотрим треугольник ABC.
   • Угол B = 30 градусов, угол C = 90 градусов.
   • Следовательно, гипотенуза AB = 2 * AC.
   • Также известно, что угол BAC = 60 градусов (90 - 30).
4. Поскольку AD - часть AB, можем выразить DB как AB - AD.
   • DB = AB - AD
5. Рассмотрим треугольник BDC.
   • Угол BDC = 120 градусов (180 - 60).
   • Применим теорему синусов для треугольника BDC: BC / sin(120) = CD / sin(30).
   • BC / (√3/2) = 5 / (1/2)
   • BC = 5 * (√3/2) / (1/2) = 5√3.

Ответ: BC = 15 см