5. В треугольнике АВС известно, что ∠C= 90°, LA = 60°. Ha катете ВС отметили точку К такую, что LAKC = 60°. Найдите отрезок СК, если ВК = 12 см. (2 б.)

Ответ: CK = 4√3 см

1. Шаг 1: Найдем угол ∠CBА.

   Сумма углов в треугольнике ABC равна 180°, поэтому:

   \[\angle CBA = 180^\circ - \angle BCA - \angle BAC = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\]

2. Шаг 2: Найдем угол ∠BAK.

   Сумма углов в треугольнике AKB равна 180°, поэтому:

   \[\angle BAK = 180^\circ - \angle AKB - \angle ABK = 180^\circ - 60^\circ - 30^\circ = 90^\circ\]

   Значит, AK - перпендикуляр к AB, и треугольник AKB - прямоугольный.

3. Шаг 3: Найдем сторону AB.

   В прямоугольном треугольнике ABK:

   \[\tan(\angle ABK) = \frac{AK}{BK}\] \[\tan(30^\circ) = \frac{AK}{12}\] \[AK = 12 \cdot \tan(30^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}\]

4. Шаг 4: Найдем сторону CK.

   В прямоугольном треугольнике ACK:

   \[\tan(\angle AKC) = \frac{AC}{CK}\] \[\tan(60^\circ) = \frac{AC}{CK}\]

   В прямоугольном треугольнике ABC:

   \[\tan(\angle ABC) = \frac{AC}{AB}\]

5. Шаг 5: Выразим AC через AB и угол ABC.

   \[AC = AB \cdot \tan(60^\circ)\]

6. Шаг 6: Подставим найденное значение AC в уравнение для CK.

   \[CK = \frac{AK}{\tan(\angle AKC)} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4\]

Ответ: CK = 4√3 см