В треугольнике АВС известно, что ∠C = 90°, ∠A = 60°. На катете ВС отметили точку К такую, что ∠АКС = 60°. Найдите отрезок СК, если ВК = 12 см.

Ответ: СК = 4 см

Решение:

1. Угол ∠B = 180° - 90° - 60° = 30°.
2. Рассмотрим треугольник AKB. Угол ∠AKB = 60°, значит, угол ∠BAK = 180° - 60° - 30° = 90°.
3. В прямоугольном треугольнике AKB катет BK лежит против угла 90°, а катет AK прилежит к углу 60°. Следовательно, AK = BK \( \cdot \) tg 30° = 12 / √3 = 4√3 см.
4. Угол ∠AKC = 60°, ∠C = 90°, следовательно, треугольник AKC - прямоугольный.
5. Тогда CK = AK \( \cdot \) tg 30° = (4√3) / √3 = 4 см.

Ответ: СК = 4 см