4. В треугольнике АВС известно, что ∠C = 90°, ∠A = 30°. На катете АС отметили такую точку Е, что ∠BEC = 60°. Найдите АС, если ЕС = 8 см.

В треугольнике ABC, где ∠C = 90° и ∠A = 30°, следовательно, ∠B = 180° - 90° - 30° = 60°.

Рассмотрим треугольник BEC. В нём ∠BEC = 60°, ∠C = 90°, тогда ∠EBC = 180° - 90° - 60° = 30°.

Так как ∠EBC = 30°, а ∠ABC = 60°, то ∠ABE = ∠ABC - ∠EBC = 60° - 30° = 30°.

В треугольнике BEC, катет EC известен и равен 8 см.

Найдем BC, используя тангенс угла EBC:

$$tg ∠EBC = \frac{EC}{BC}$$ $$tg 30° = \frac{8}{BC}$$ $$BC = \frac{8}{tg 30°} = \frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{8 \cdot 3}{\sqrt{3}} = \frac{24}{\sqrt{3}} = \frac{24 \cdot \sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3}$$

В треугольнике АВС, где ∠A = 30°, BC = 8√3.

Найдем AC, используя тангенс угла А:

$$tg ∠A = \frac{BC}{AC}$$ $$tg 30° = \frac{8\sqrt{3}}{AC}$$ $$AC = \frac{8\sqrt{3}}{tg 30°} = \frac{8\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{8\sqrt{3} \cdot 3}{\sqrt{3}} = 24$$

Ответ: АС = 24 см.