4. В треугольнике АВС известно, что ∠C = 90°, ∠A = 30°, отрезок ВМ – биссектриса треугольника. Найдите ка- тет АС, если ВМ = 6 см.

Ответ: АС = 9 см

Решение:

1. Рассмотрим треугольник ABC. Так как ∠C = 90°, ∠A = 30°, то ∠B = 180° - 90° - 30° = 60°.

2. BM - биссектриса угла B, следовательно, ∠ABM = ∠MBC = 60° / 2 = 30°.

3. Рассмотрим треугольник ABM. В нём ∠A = 30°, ∠ABM = 30°, следовательно, треугольник ABM равнобедренный (AB = BM = 6 см).

4. В прямоугольном треугольнике ABC катет AC, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы AB.

5. Пусть AC = x, тогда AB = 2x. Зная, что AB = 6 см, получаем 2x = 6, x = 3 см.

Ответ: АС = 9 см

Ответ: АС = 9 см