В треугольнике АВС известно, что AC = BC, AB=18, tg A = $$\frac{2\sqrt{22}}{9}$$. Найдите длину стороны АС.

1. Анализ условия:

• Треугольник ABC — равнобедренный ($$AC = BC$$).
• Сторона AB = 18.
• Тангенс угла A: $$\text{tg} A = \frac{2\sqrt{22}}{9}$$.
• Нужно найти длину стороны AC.

2. Свойства равнобедренного треугольника:

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть $$\angle A = \angle B$$.

3. Использование тангенса:

Мы знаем $$\text{tg} A$$. Можно найти $$\sin A$$ и $$\cos A$$ из основного тригонометрического тождества и определения тангенса.

$$\text{tg} A = \frac{\sin A}{\cos A}$$.

Основное тригонометрическое тождество: $$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$$.

Из $$\text{tg} A = \frac{2\sqrt{22}}{9}$$, следует, что $$\sin A = \frac{2\sqrt{22}}{9} \cos A$$.

Подставим это в тождество:

\[ \left(\frac{2\sqrt{22}}{9} \cos A\right)^2 + \cos^2 A = 1 \]

\[ \frac{4 imes 22}{81} \cos^2 A + \cos^2 A = 1 \]

\[ \frac{88}{81} \cos^2 A + \cos^2 A = 1 \]

\[ \cos^2 A \left(\frac{88}{81} + 1\right) = 1 \]

\[ \cos^2 A \left(\frac{88 + 81}{81}\right) = 1 \]

\[ \cos^2 A \left(\frac{169}{81}\right) = 1 \]

\[ \cos^2 A = \frac{81}{169} \]

\[ \cos A = \sqrt{\frac{81}{169}} = \frac{9}{13} \]

(Так как A — угол треугольника, $$0 < A < 180^\circ$$. Если $$A$$ — острый угол, $$\cos A > 0$$. Если $$A$$ — тупой, $$\cos A < 0$$. Из $$\text{tg} A > 0$$, следует, что $$A$$ — острый угол, поэтому $$\cos A = \frac{9}{13}$$).

Теперь найдем $$\sin A$$:

\[ \sin A = \text{tg} A \times \cos A = \frac{2\sqrt{22}}{9} imes \frac{9}{13} = \frac{2\sqrt{22}}{13} \]

4. Теорема синусов:

В треугольнике ABC, по теореме синусов:

\[ \frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} = 2R \]

Так как $$\angle A = \angle B$$, то $$\sin A = \sin B$$. Следовательно, $$AC = BC$$. Это подтверждает условие равнобедренности.

Нам нужно найти AC. Мы знаем AB и $$\sin C$$. Нам нужно найти $$\sin C$$.

Сумма углов треугольника: $$A + B + C = 180^\circ$$.

Так как $$A = B$$, то $$2A + C = 180^\circ$$, следовательно, $$C = 180^\circ - 2A$$.

\[ \sin C = \sin(180^\circ - 2A) = \sin(2A) = 2 \sin A \cos A \]

\[ \sin C = 2 imes \frac{2\sqrt{22}}{13} imes \frac{9}{13} = \frac{36\sqrt{22}}{169} \]

Теперь используем теорему синусов для нахождения AC:

\[ \frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} \]

\[ \frac{18}{\frac{36\sqrt{22}}{169}} = \frac{AC}{\frac{2\sqrt{22}}{13}} \]

\[ AC = \frac{18 imes \frac{2\sqrt{22}}{13}}{\frac{36\sqrt{22}}{169}} = \frac{\frac{36\sqrt{22}}{13}}{\frac{36\sqrt{22}}{169}} \]

\[ AC = \frac{36\sqrt{22}}{13} imes \frac{169}{36\sqrt{22}} = \frac{169}{13} = 13 \]

5. Альтернативный метод (через высоту):

Проведем высоту CH из вершины C к основанию AB. В равнобедренном треугольнике высота является также медианой и биссектрисой.

Значит, $$AH = HB = \frac{AB}{2} = \frac{18}{2} = 9$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AHC. У нас есть угол A и катет AH.

По определению тангенса в прямоугольном треугольнике AHC:

\[ \text{tg} A = \frac{CH}{AH} \]

\[ CH = AH \times \text{tg} A = 9 imes \frac{2\sqrt{22}}{9} = 2\sqrt{22} \]

Теперь найдем AC, используя теорему Пифагора в треугольнике AHC:

\[ AC^2 = AH^2 + CH^2 \]

\[ AC^2 = 9^2 + (2\sqrt{22})^2 \]

\[ AC^2 = 81 + (4 imes 22) \]

\[ AC^2 = 81 + 88 \]

\[ AC^2 = 169 \]

\[ AC = \sqrt{169} = 13 \]

Оба метода дали одинаковый результат.

Ответ: Длина стороны AC равна 13.