В треугольнике АВС известно, что ∠C=90°, ∠A=30°, отрезок CD — высота, BD=8см. Найдите гипотенузу АВ.

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике АВС \( \angle C = 90^\circ \) и \( \angle A = 30^\circ \). Тогда \( \angle B = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \).

2. В прямоугольном треугольнике CBD, \( \angle CDB = 90^\circ \). Угол \( \angle B = 60^\circ \). Тогда \( \angle BCD = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \).

3. В прямоугольном треугольнике CBD, напротив угла \( 30^\circ \) лежит катет BD, который равен половине гипотенузы CB. Следовательно, \( CB = 2 × BD = 2 × 8 = 16 \) см.

4. В прямоугольном треугольнике ABC, катет CB лежит напротив угла \( 30^\circ \) (угол A). Следовательно, катет CB равен половине гипотенузы AB. \( CB = \frac{1}{2} AB \).

5. Тогда \( AB = 2 × CB = 2 × 16 = 32 \) см.

Ответ: Гипотенуза АВ равна 32 см.